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∫
微积分基本定理
牛顿-莱布尼茨公式、黎曼积分、变上限积分，动态黎曼和可视化。
交互可视化
Σ
级数收敛性判别
比值法、根值法、比较法、交错级数，部分和动态演示。
动态演示
∂
多元函数偏导数
偏导数几何意义、梯度场、方向导数、极值判定，等高线可视化。
梯度场可视化
⌢
曲线曲面积分
第一、二类曲线积分，格林公式，高斯公式，路径动画演示。
路径动画
∫ 微积分基本定理
Newton-Leibniz Formula · 黎曼积分 · 变上限积分
📖 理论讲解
🎨 可视化实验
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📌 核心定理
微积分基本定理揭示了求导与积分互为逆运算的本质关系。
// 第一基本定理（变上限积分求导）
若 F(x) = ∫[a→x] f(t) dt，则 F'(x) = f(x)// 第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F'(x) = f(x)// 黎曼和（积分的极限定义）
∫[a→b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[k=1→n] f(ξₖ)·Δxₖ// 常用积分公式
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C | ∫eˣ dx = eˣ+C | ∫sin x dx = -cos x+C∫cos x dx = sin x+C | ∫1/x dx = ln|x|+C | ∫1/(1+x²)dx = arctan x+C
1
理解面积含义：定积分表示曲线 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的代数面积（x轴上方正，下方负）。
2
找原函数：寻找满足 F'(x)=f(x) 的 F(x)，利用积分公式或换元、分部积分法。
3
代入计算：将上下限代入 F(b)-F(a) 得积分值（是数值）。
4
变上限求导：若 G(x)=∫[0→φ(x)]f(t)dt，则 G'(x)=f(φ(x))·φ'(x)（链式法则）。
🔬 黎曼和动态可视化（区间 [0,π]）
黎曼和: —
拖动 n 滑块，观察黎曼和逼近真实积分值的过程
📈 变上限积分 F(x)=∫[0→x]f(t)dt（蓝：f(x)；橙：F(x)）
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几何意义
原函数条件
换元积分
分部积分
变上限例题
Σ 级数收敛性判别
比值法 · 根值法 · 比较法 · 交错级数
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📌 收敛定义
若部分和 Sₙ=a₁+…+aₙ 的极限存在（=S），则级数收敛，否则发散。
// 比值判别法（D'Alembert）
lim|a(n+1)/aₙ| = L：L<1收敛，L>1发散，L=1不确定// 根值判别法（Cauchy）
lim ⁿ√|aₙ| = L：L<1收敛，L>1发散，L=1不确定// 莱布尼茨判别法（交错级数）
|a₁|≥|a₂|≥…→0，则 Σ(-1)ⁿaₙ 收敛// 重要结论
等比级数 Σqⁿ：|q|<1收敛→1/(1-q)；|q|≥1发散p级数 Σ1/nᵖ：p>1收敛；p≤1发散（调和级数p=1发散）
1
必要条件：若 aₙ→0 不成立，级数必发散（快速排除）。
2
识别类型：含 n! 或 nⁿ 用比值法；含 aⁿ 用根值法；交错级数用莱布尼茨法。
3
比较判别：与 p 级数、等比级数比较大小，利用数量阶关系。
4
积分判别：f(x) 单调递减正值且 f(n)=aₙ，则 Σaₙ 与 ∫[1,∞]f(x)dx 同敛散。
📊 级数部分和动态演示
Sₙ = —
🔍 收敛速度对比（蓝:1/n²；绿:(1/2)ⁿ；橙:交错级数）
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比值vs根值
调和级数
收敛半径
余项估计
∂ 多元函数偏导数应用
梯度 · 方向导数 · 极值 · 全微分
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🎨 梯度场可视化
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📌 偏导数定义
对 z=f(x,y)，将其他变量视为常数，对目标变量求导，得到偏导数。
// 偏导数（极限定义）
∂f/∂x = lim(Δx→0)[f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0)[f(x,y+Δy)-f(x,y)]/Δy
// 梯度（最速上升方向）
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，|∇f| = 最大方向导数// 方向导数
∂f/∂l = ∇f·l̂ = |∇f|cosθ（沿梯度方向取最大值）// 极值判断（Hessian矩阵）
A=f_xx, B=f_xy, C=f_yy，Δ=AC-B²Δ>0且A>0：极小 | Δ>0且A<0：极大 | Δ<0：鞍点
1
求偏导：把其他变量当常数，对目标变量用一元求导法则。
2
求驻点：令 f_x=0, f_y=0，联立解出驻点坐标。
3
判断类型：计算 Δ=f_xx·f_yy-(f_xy)² 判断极大/极小/鞍点。
4
条件极值：令 ∇f=λ∇g，联立约束方程 g(x,y)=0 求解（拉格朗日法）。
🗺️ 等高线 + 梯度场
移动鼠标查看值
左：等高线+梯度箭头（白色）；右：三维伪透视图
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梯度含义
全微分vs偏导
拉格朗日法
隐函数偏导
⌢ 曲线与曲面积分
格林公式 · 高斯公式 · 斯托克斯定理
📖 理论讲解
🎨 路径可视化
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📌 两类曲线积分
第一类（对弧长）：∫f ds，与方向无关；第二类（对坐标）：∫Pdx+Qdy，与方向有关，可表示做功。
// 第一类曲线积分（参数化）
∫_L f ds = ∫[α→β] f(x(t),y(t))·√(x'²+y'²) dt// 第二类曲线积分
∫_L Pdx+Qdy = ∫[α→β][P·x'(t)+Q·y'(t)] dt// 格林公式（曲线→面积）
∮_L Pdx+Qdy = ∬_D (∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy（L逆时针）// 路径无关充要条件
∂Q/∂x ≡ ∂P/∂y ⟺ 与路径无关 ⟺ Pdx+Qdy 为全微分// 高斯公式（曲面→体积）
∯_Σ F·dS = ∭_Ω (P_x+Q_y+R_z) dV
1
参数化曲线：用参数 t 表示路径，写出 x(t), y(t) 及导数。
2
格林公式优先：封闭路径可用格林公式转化为二重积分，大幅简化计算。
3
检验路径无关：验证 Q_x = P_y，若成立可选最简折线路径。
4
方向性：第二类积分反向变号；封闭曲线正方向为逆时针。
🛤️ 曲线路径积分演示
做功 W = —
蓝箭头：向量场；红线：积分路径；黄点：动画位置
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格林公式条件
路径无关
Stokes公式
高斯公式
🔬 可视化实验室
泰勒级数展开近似
蓝：原函数；橙虚线：Taylor近似
梯度下降算法模拟（f=x²+2y²-xy）
步数:0 当前:(2,2)
📊 学习进度追踪
∫微积分基本定理
0% 完成
Σ级数收敛性判别
0% 完成
∂多元函数偏导数
0% 完成
⌢曲线曲面积分
0% 完成
🗺️ 知识关系图谱